本文目录
holder不等式是什么
如下：
∑bi^q)^(1/q)。
上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数。
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
奥托·赫尔德成就
奥托·赫尔德（OttoLudwigHölder，1859年12月22日–1937年8月29）出生于斯图加特，是一个德国数学家。赫尔德最初求学于斯图加特理工大学（今斯图加特大学），后于1877年赴柏林，并在利奥波德·克罗内克，卡尔·魏尔斯特拉斯，和恩斯特·库默尔的指导下学习。
赫尔德的著名成就包括：赫尔德不等式，若尔当-赫尔德定理，证明了每一满足阿基米德性质的全序群都同构于实数的加法群的某一子群，200阶以下简单群的分类，发现了对称群S6的异常外自同构，以及赫尔德定理（说明伽玛函数不满足任何代数微分方程）。
张宇高数18讲基本不等式有哪些
基本不等式有：
1、三角不等式
三角不等式即在三角形中两边之和大于第三边，是平面几何不等式里最为基础的结论。广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
2、平均值不等式
Hn≤Gn≤An≤Qn被称为平均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
3、二元均值不等式
二元均值不等式表示两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。公式为：a^2+b^2≥2ab；推广有：一般地，若a1,a2,a3,···,an,是正实数，则有均值不等式:
4、杨氏不等式
杨氏不等式又称Young不等式 ，Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例，其一般形式为：假设a,b是非负实数，p＞1，1/p+1/q=1，那么：
等号成立当且仅当a^p=b^q。
5、柯西不等式
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），其一般形式为：
6、赫尔德不等式
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。设p＞1，1/p+1/q=1，令a1,···,an和b1,···,bn是非负实数，则有：
赫尔德不等式内容
设S为测度空间，，及，设f在Lp(S)内，g在Lq(S)内。则f g在L1(S)内，即||fg||1《=||f||p||g||q，且有1/p+1/q=1
。 若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1, ..., xn; y1, ..., yn，有
。 我们称p和q互为赫尔德共轭。
若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。
当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。
赫尔德不等式可以证明Lp空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明Lp空间是Lq空间的对偶。
怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
杨氏不等式：
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
Holder不等式证明如下：
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据杨氏不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件
holder不等式是什么呢
Holder不等式：是柯西不等式的推广，它是证明p范数三角不等式的重要工具。
是证明二范数三角不等式的重要工具。为了证明p范数是一个范数，需要验证其是否满足三角不等式，也即是holder不等式。
holder不等式的应用：
施瓦兹不等式赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况，此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式,有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。
它的积分形式、级数形式分别为上面两式中等号成立的充要条件分别是存在两个不全为零的常数с1和с2，使得с1(x)=с2g(x)，在E上几乎处处成立和对一切自然数n，с1αn=с2bn。
holder不等式等号成立条件
holder不等式(赫尔德不等式)
已知ai,bi,……，li（ ）为正实数，又α，β，……，λ是正数，且α+β+……+λ=1,则
∑(ai)^α(bi)^β……(li)λ≤(∑ai)^α (∑bi)^β ……(∑li)^λ，i=1，2，……，n .
等号只当ak/∑ai=bk/∑bi=……= lk/∑li时成立。
上式中若令 ai=xi^2,bi=yi^2,α=β =1/2，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
