本文目录
- 拉普拉斯算子的表示式
- 正拉普拉斯算子和负拉普拉斯算子的区别
- 拉普拉斯算子的物理意义是什么
- 为什么 空间二阶导（拉普拉斯算子）这么重要
- 什么是拉普拉斯算子
- 拉普拉斯算子的实际应用是什么
- ▽2是什么拉普拉斯算子
- 拉普拉斯算符怎么用
- 拉普拉斯算子的定义
拉普拉斯算子的表示式
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标：另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
正拉普拉斯算子和负拉普拉斯算子的区别
区别如下：
拉普拉斯算子(或拉普拉斯算符)和拉普拉斯变换是两个处理函数的方式，一个是微分，一个是积分，具体形式不写了，可查参考书顾樵《数学物理方法》还有梁昆淼《数学物理方法》。信号与系统里面主要应用的就是拉普拉斯变换。这两种方式对函数处理的出发点和目的是不一样的。拉普拉斯算子是从处理函数的散度、旋度过程中产生的，常用到的是拉普拉斯方程和泊松方程。积分形式是在处理不满足傅里叶变换条件的函数问题过程中引入的，其目的在于从不同的角度或域去观察一个函数。
拉普拉斯算子的物理意义是什么
意义为一个场变量的梯度的散度。
拉普拉斯算子从形式上看表示，一个场变量的梯度的散度。散度的概念为很清晰的，从高斯方程应用到静电场领域可以知道，散度可以表示一个矢量在单位空间内产生通量的强度，静电场中因为一个封闭的曲面内部有静电荷，那么这个封闭曲面包围的三维体积内部的电场强度E的散度≠0，假如曲面内无静电荷，那么通过这个闭合曲面的电场强度通量=0。
拉普拉斯把注意力主要集中在天体力学的研究上面。9把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂。这就为著名的拉普拉斯定理。
这个闭合曲面内部的电场强度E的散度也为零，散度标志研究的区域是否为有源场或者为无源场。梯度的定义式为场变量f(x,y,z..)对各自坐标的偏微分，构成的矢量。沿着这个矢量方向为场变量f变化最快的方向。拉普拉斯算子表示梯度场的散度，显然该算子为研究梯度场的相关性质，简单的一个应用，梯度场沿闭合曲面的积分=梯度场的散度在闭合曲面所围体积内的积分。
扩展资料：
拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上为一个大师，在政治上为一个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量精神带到内阁里。在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断其工作。
拉普拉斯生于法国诺曼底的博蒙，父亲为一个农场主，从青年时期就显示出卓越的数学才能，18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当其教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。
为什么 空间二阶导（拉普拉斯算子）这么重要
一旦你弄清了拉普拉斯算子的物理意义，你就知道它为什么如此普遍和重要了。通常你看到这样的拉普拉斯算子长:\ overrightarrow { \微分算符} ^ 2。当他们的角色在一个空间标量函数f,写作\ overrightarrow { \微分算符} ^ 2 f。这是,当然,缩写,特别是很难看到其背后的物理意义。找出\ overrightarrow { \微分算符} ^ 2 f是什么意思,
:\ overrightarrow { \微分算符} \ cdot(\ overrightarrow { \微分算符} f)。
因此,物理意义是清楚的:标量函数的拉普拉斯算子空间实际上是一个“行动”,第一个标量函数的梯度场和梯度场散度了!
在不同的坐标系(Cartisian、球形、圆柱形、等等),拉普拉斯算子的表现形式是不一样的最简单的表达形式是Cartisian坐标(\压裂{ \部分^ 2 } { \部分x ^ 2 } + \压裂{ \部分^ 2 } { \偏y ^ 2 } + \压裂{ \部分^ 2 } { \部分z ^ 2 }),但物理意义是一致的——标量函数梯度场散度。
这里，你的问题是:为什么标量函数梯度场的散度如此重要?由于标量函数的梯度通常是“驱动力”(或“势”)，“驱动力”的散度可以称为空间中“源”的分布。例如，空间温度场T(x,y,z)是一个标量，梯度场\overrightarrow{\nabla}决定了空间热流密度(表面密度)损失场\overrightarrow{q}。
对于空间中的任意一点，热通量的损失与梯度成正比(假定材料为各向同性)，热通量损失的方向是梯度方向的反方向。在数学术语中，\overrightarrow{q}=k\overrightarrow{\nabla}，在这里k《0。
再次对热通量矢量场和散度(本质上是温度梯度场和散度)在每个点热源特征上得到了空间:点的散度为“热”，热流为1;散度为负的点是“冷源”，即热流入点。你经常看到一个传热方程\压裂{ \部分^ 2 T } { \部分x ^ 2 } + \压裂{ \部分^ 2 T } { \偏y ^ 2 } + \压裂{ \部分^ 2 T } { \部分z ^ 2 } = 0(Cartisian坐标描述的拉普拉斯方程)。翻译成自然语言，这个方程式说:空间里没有热源!
什么是拉普拉斯算子
提出将高斯拉普拉斯算子应用在光电联合相关变换器中进行谱面图像的增强处理。光电混合联合变换器可实现对目标的实时探测、识别及自动定位,但由于实际中采集到的图像的对比度较低,且存在大量背景噪音,影响了目标的识别率。根据高斯拉普拉斯变换对高斯噪声不敏感的特性,结合了自适应阈值、边界跟踪和细化技术,对图像噪声进行滤波的同时,对图像进行了增强处理,这样最大限度地保留了光谱图像的细节信息,提高了光电联合相关系统的目标识别率
拉普拉斯算子的实际应用是什么
拉普拉斯算子有许多用途，是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。
▽2是什么拉普拉斯算子
解答：
∇2 or ∇·∇：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
推广
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子。达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。
拉普拉斯算符怎么用
拉普拉斯算子中文名称：拉普拉斯算子英文名称：Laplacian 定义：对于标量场函数f，为该标量场梯度的散度的一个标量，即对于矢量场函数，f为该矢量场散度的梯度减去该矢量场旋度的旋度的一个矢量，即所属学科：电力（一级学科）；通论（二级学科） 定义 拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为： (1) f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数： (2) 作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : C(R) → C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω)，对于任何开集Ω。 函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式二维空间 其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为：
三维空间 笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法
N 维空间 在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为： 其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。
恒等式 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： 因此：
推广 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子： 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子 主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。
拉普拉斯算子的定义
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
另外, 满足▽·▽f=0 的函数f, 称为调和函数.
