本文目录
- 设实二次型f=xTAx的秩为2，α1=（1,0,0）T.
- 求世界数学著名定理
- 西尔维斯特问题如何得以证明谢谢了，大神帮忙啊
- 简述判断n元实二次型正定的充分必要条件
- Mercer定理是什么
- 西尔维斯特加莱定理是什么，还有证明
- 对于sglvester(西尔维斯特)定理证明的疑惑
设实二次型f=xTAx的秩为2，α1=（1,0,0）T.
已知a1=(0,1,1)T是齐次方程组Ax=0的基础解系；
所以 n-r(A) = 1；
所以 R(A) = n-1 = 3-1 = 2。
实二次型（real quadratic form)是一类重要的二次型，指实数域上的二次型，任意实二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通过实满秩线性代换化为形如y1+…＋yp-yp+1-…－yr的标准形。
这种标准形称为实二次型f的规范型或正规型，其中r是f的秩，正平方项个数p称为f的正惯性指数，负平方项个数q=r-p称为f的负惯性指数，s=p-q称为f的符号差，实二次型的正、负惯性指数是惟一确定的，此称为实二次型的惯性定律，亦称惯性定理。
此定理由西尔维斯特（J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比（C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。
两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数（或有相同的秩与符号差）。
求世界数学著名定理
托勒密定理：四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
蝴蝶定理：P是圆O的弦AB的中点，过P点引圆O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N，则有MP=NP。
帕普斯定理：设六边形ABCDEF的顶点交替分布在两条直线a和b上，那么它的三双对边所在直线的交点X、Y、Z在一直线上。
高斯线定理：四边形ABCD中，直线AB与直线CD交于E，直线BC与直线AD交于F，M、N、Q分别为AC、BD、EF的中点，则有M、N、O共线。
莫勒定理：三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点。
拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形则他们的中心构成一个等边三角形。
帕斯卡定理：若一个六边形内接于一条圆锥曲线，则这个六边形的三双对边的交点在一条直线上。
布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。
梅尼劳斯定理：如果一直线与三角形ABC的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有：(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1 （考虑线段方向，则等式右边为-1）。
它的逆定理：若有三点L、M、N分别在三角形ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（至少有一点在延长线上），且满足(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1，则L、M、N三点共线。
塞瓦定理：设O是三角形ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。
它的逆定理：在三角形ABC三边所在直线BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，则AD、BE、CE平行或共点。
斯特瓦尔特定理：在三角形ABC中，若D是BC上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则AD^2=-pq。
泰博定理：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形；取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形；给定任意三角形ABC，BC上任意一点M，作两个圆形，均与AM、BC、外接圆相切，该两圆的圆心和三角形内接圆心共线。
凡·奥贝尔定理：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直（凡·奥贝尔定理适用于凹四边形）。
西姆松定理：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
西尔维斯特问题如何得以证明谢谢了，大神帮忙啊
J.J西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。 这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。 用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的. 不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h3，那么由h的最小性，有h1AB+h3AC＞h(AB+AC)＞hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。
简述判断n元实二次型正定的充分必要条件
n元实二次型xTAx正定的充分必要条件有：
（1）A的正惯性指数是n；
（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得CTAC=E；
（3）A的所有特征值均为正数；
（4）A的各阶顺序主子式均大于零；
此外，n元实二次型xTAx正定的必要条件有：
（1）｜A|》0；
（2）aii》0(i=1,2……n)
最后，判断n元实二次型是否正定时，可以看二次型矩阵的主对角线系数是否都为整数、行列式是否为零。对待低阶矩阵也可以计算各阶顺序主子式事是否均大于零，计算特征值较慢不推荐。
实二次型
此定理由西尔维斯特（J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比（C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。
两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数（或有相同的秩与符号差）。
Mercer定理是什么
定义：一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 zTMz 》 0。
正定矩阵判定：
1. 矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P − 1DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某
个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。
2. 半双线性形式
定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3. M是n个线性无关的n维向量 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为：
换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4. M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
M左上角1× 1的矩阵
M左上角2× 2矩阵
...
M自身。
对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
5. 存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得：
M = LL * .
其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。
正定矩阵性质：
若M为半正定阵，可以写作。如果M是正定阵，可以写作M 》 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 M 》 N。
1. 每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 那么 。
2. 如果M是正定阵，r 》 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。
如果 M、N 是正定阵，那么和M + N、乘积 MNM 与 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定阵。
3. 如果M = (mij) 》 0 那么主对角线上的系数mii 为正实数。于是有tr(M) 》 0。此外还有
4. 矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B 》 0 使得 B2 = M。根据其唯一性可以记作B = M1 / 2，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M 》 N 》 0 那么 M1 / 2 》 N1 / 2 》 0.
5. 如果M,N 》 0 那么 ，其中 表示克罗内克乘积。
6. 对矩阵M = (mij),N = (nij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N 》 0，那么 。如果 M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
7. 设M 》 0，N 为埃尔米特矩阵。如果（MN + NM 》 0），那么（N 》 0）。
8. 如果为实系数矩阵，则。
9. 如果M 》 0为实系数矩阵，那么存在δ 》 0 使得
西尔维斯特加莱定理是什么，还有证明
反证法： 设p=5*n(n是正的自然数) 则5q^2=p^2=25n^2 这样q^2也能被5整除，q也能被5整除 因此p与q有公因子5。 这与p,q互质相矛盾 从而 证明了根号5为无理数。
对于sglvester(西尔维斯特)定理证明的疑惑
哈哈，我就是上官zh，之所以我来回答这个问题呢，就是因为我现在已经知道了哦。下面是我的解答，自己要记清楚哦：l*上面不可能存在P中的三个点，当然也就证明了我们的定理了。自然地，我们采用反证法。假设存在三个点。我们先画出一个点q，它是l*上面与p*最近的点，这意味着直线qp*垂至于l*，这是显然的。注意噢，q和我们考虑的点的集合P没有任何联系。现在我们要走出很关键但也很简单的一步了：l*上面的三个点中必有两个存在于q的同一侧！很简单是吧？抽屉原理，把三个球放到两个抽屉里面，必有两个球在一个抽屉中。我们把这两个点称作r和s，且令r位于q和s之间（注意噢，r可能与q重合，也就是说q属于P，但这并不影响我们的证明，你可以在看完证明内容以后发现这一点）。很显然的是，r位于直线sp*以外。接下来，我们很容易就可以证明r同直线sp*之间的距离（也就是图中红线的长度）小于p*同l*之间的距离（也就是线段qp*的长度）！（这里就不写出来了，你可以用直角三角形的相似，对应边成比例等等来证明，很简单。）这当然得出矛盾了 yeah!
